向量的1范数

向量的1范数是指向量中所有元素的绝对值之和。对于一个n维向量x，其L1范数表示为：

其中，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是向量x的各个元素。

L1范数也被称为“曼哈顿范数”，因为它衡量的是向量中元素在坐标轴上的“曼哈顿距离”，即在每个维度上的绝对位移之和，类似于在城市中沿着网格街道行走的距离。

L1范数的计算非常简单，只需要将向量中所有元素的绝对值相加即可。

L1范数在某些情况下具有一些有趣的性质，其中之一是它对异常值相对较为鲁棒。这意味着，如果向量中的某个元素发生较大的变化，L1范数的变化相对较小，因为它只关心绝对值的总和。这使得L1范数在一些需要处理噪声或异常值的应用中很有用。

另外，L1正则化在机器学习中也经常使用，尤其是在稀疏建模的上下文中。通过在优化问题中引入L1范数作为正则化项，可以促使模型参数中的一些值趋向于零，从而实现特征选择的效果。这对于处理高维数据和提高模型的泛化能力非常有帮助。

总体而言，L1范数在数学和应用中都有着广泛的应用，尤其是在优化、统计学、机器学习等领域。