对角行列式副对角线公式

对角行列式的副对角线公式是指，对于一个n阶方阵A，其副对角线上的元素可以通过对角线上的元素按照相反的顺序相乘再取负得到。

具体公式如下：

det(A) = (-1)^(n/2) * a1n * a2(n-1) * a3(n-2) * … * an1

其中，a1n表示A的第1行第n列的元素，a2(n-1)表示A的第2行第(n-1)列的元素，以此类推，an1表示A的第n行第1列的元素。

需要注意的是，当n为奇数时，(-1)^{(n/2)的值为-1；当n为偶数时，(-1)}(n/2)的值为1。

对角行列式的副对角线公式可以通过以下步骤来推导：

首先，我们将方阵A的副对角线上的元素表示为a(i,j)，其中i表示行号，j表示列号。副对角线上的元素满足i+j=n+1，其中n为方阵的阶数。

接下来，我们将对角线上的元素表示为a(i,i)，其中i表示行号和列号相等。

根据行列式的定义，行列式的值等于所有元素的乘积之和。因此，我们可以将方阵A的行列式表示为：

det(A) = a(1,1) * a(2,2) * a(3,3) * … * a(n,n) + a(1,2) * a(2,3) * a(3,4) * … * a(n-1,n) + a(1,3) * a(2,4) * a(3,5) * … * a(n-2,n) + … + a(1,n) * a(2,n-1) * a(3,n-2) * … * a(n,1)

注意到，副对角线上的元素满足i+j=n+1，可以将副对角线上的元素表示为a(i,n+1-i)。将上述行列式的每一项中的副对角线上的元素替换为a(i,n+1-i)，得到：

det(A) = a(1,1) * a(2,2) * a(3,3) * … * a(n,n) + a(1,2) * a(2,3) * a(3,4) * … * a(n-1,n) + a(1,3) * a(2,4) * a(3,5) * … * a(n-2,n) + … + a(1,n) * a(2,n-1) * a(3,n-2) * … * a(n,1)

= a(1,n) * a(2,n-1) * a(3,n-2) * … * a(n,1) + a(1,n-1) * a(2,n-2) * a(3,n-3) * … * a(n-1,2) + a(1,n-2) * a(2,n-3) * a(3,n-4) * … * a(n-2,3) + … + a(1,1) * a(2,2) * a(3,3) * … * a(n,n)

注意到，上述行列式的每一项中的副对角线上的元素的顺序是相反的。因此，我们可以将每一项中的副对角线上的元素按照相反的顺序相乘，再取负，得到：

det(A) = (-1)^(n/2) * a(1,n) * a(2,n-1) * a(3,n-2) * … * a(n,1)

这就是对角行列式的副对角线公式。